初中数学|经典几何问题：“将军饮马”模型

“将军饮马”由来

      相传亚历山大城有一位精通数学的学者海伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为”将军饮马”的问题广泛流传。 

据说海伦思考片刻就解决了这个问题。

       抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B在直线的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的位置了。即连接AB交直线于点C。

       因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，本质上是通过AC=A’C,把问题转化为求A’C+BC最小值）

“将军饮马”模型

 常用的“将军饮马”模型有6种。

模型1. 如下图，A、B两点在直线的两侧，在直线上找到点P，使PA+PB最小。

模型2. 如下图，A、B两点在直线的同侧，在直线上找到点P，使PA+PB最小。

模型3. 如下图，点 P 是∠MON 内的一点（定点），在OM，ON上分别构造点A，B，使△PAB 的周长最小。 

模型4. 如下图，点 P，Q 是∠MON 内的两点（定点），在OM，ON上分别构造点A，B，使四边形PAQB的周长最小。

模型5. 如下图，点A是∠MON外的一点，在射线OM上找到点P，使PA+PB(点P到射线ON的距离)最小。

模型6.  如下图，点A是∠MON内的一点，在射线OM上找到点P，使PA+PB(点P到射线ON的距离)最小。

相关例题

  如下图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，AE =2，M是AD上的一动点，求EM+EC的最小值？

分析

      目标：利用模型，让“C、E异侧”。

      因为点B是点C关于直线AD的对称点,

      连接BE，交AD 于点M，则ME+MD最小

 过点B作BH⊥AC于点H，则EH = AH – AE = 3 – 2 =1，再利用勾股定理就可以求出BH，可以发现△BEH也是直角三角形，重复使用勾股定理，得到BE=2√7.