用换元法分解因式

换元法解决因式分解

一、换单项式

例一：分解因式x⁶ + 14x³ y + 49y².

分析：注意到x⁶=（x³）²，若把单项式x³换元，设x³ = m，则x⁶= m²，原式变形为

m² + 14m y + 49y²

= (m + 7y)²

= ( x³ + 7y)².

二、换多项式

例2    分解因式(x²+4x+6) + (x²+6x+6) +x².

分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x² +6= m，则x²+4x+6= m+4x，x²+6x+6= m+6x，原式变形为

(m+4x)(m+6x)+x²

=  m² +10mx+24x²+x²

=  m² +10mx+25x²

= (m+5x)²

= ( x² +6+5x)²

= [(x+2)(x+3)]²

= (x+2) ² (x+3)².

以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x²+4x+6=m，则x²+6x+6=m+2x，原式变形为

m(m+2x)+ x²

=  m²+2mx+x²

= (m+x)²

= ( x²+4x+6+x)²

= ( x²+5x+6)²

= [(x+2)(x+3)]²

= (x+2) ² (x+3)².

另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= 2(1)[(x²+4x+6) + (x²+6x+6)]= x²+5x+6，则x²+4x+6=m-x，x²+6x+6=m+x，

(m+x)(m-x)+x²

=  m²-x²+x² 

=  m²

=  (x²+5x+6)²

=  [(x+2)(x+3)]²

=  (x+2) ² (x+3)².

例3    分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.

分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x²，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x²+x-2) (x²+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.

我们采用“均值换元法”，设m= 2(1)[ (x²+x-2)+ (x²+x-12)]=x²+x-7，则x²+x-2=m+5，x²+x-2= m-5，原式变形为

(m+5)(m-5)+24

= m²-25+24

= m²-1

= (m+1)(m-1)

= ( x²+x-7+1)( x²+x-7-1)

= ( x²+x-6)( x²+x-8)

= (x-2)(x+3)( x²+x-8).

三、换常数

例3    分解因式x²(x+1)-2003×2004x.

分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为

x²(x+1) – m(m+1)x

= x[x(x+1)-m(m+1)]

= x(x²+x-m²-m)

= x[(x² -m²) +(x-m)]

= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]

= x(x-m)(x+m+1)

= x(x-2003)(x+2003+1)

= x(x-2003)(x+2004).

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