【数学知识】初中数学因式分解6种常用方法，超好用！

分解因式是初中数学的重要工具之一，也是学习分式、根式、一元二次方程的基础，今天老师整理了用平方差和完全平方公式进行分解因式的9种常见应用，赶快看起来吧！

利用平方差公式分解因式

应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。

公式表述为：a²-b²=（a+b）(a-b)

应用平方差公式满足的条件：

等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算；等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。

1、直接应用

分解因式：x²-4=____________________.

分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成2²，这样，左边就变形为x²-2²，这样，就和公式一致了。

解：x-4=x²-2²= (x+2)(x-2)。

2、提后用公式

分解因式：3x²-27=         。

分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。

解：3x²-27

=3 (x²-9)

=3 (x²-3^²)

=3(x+3)(x-3)。

3、变化指数后用公式

2⁴⁸-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？

分析：因为，48=2×24，所以，2⁴⁸= (2^²)²⁴= (2²⁴)^²，这样，就满足了平方差公式的要求了。

解：因为，48=2×24，

所以，2⁴⁸-1=(2²⁴)²-(1)^²=(2²⁴+1)(2²⁴-1)

=(2²⁴+1)【(2¹²)²-(1)^²】

=(2²⁴+1)【(2¹²+1)(2¹²-1)】

=(2²⁴+1)(2¹²+1)【(2⁶)²-(1)²】

=(2²⁴+1)(2¹²+1)【(2⁶+1)(2⁶-1)】

=(2²⁴+1)(2¹²+1)(2⁶+1)【(2³)²-(1)²】

=(2²⁴+1)(2¹²+1)(2⁶+1)【(2³+1)(2³-1)】

=(2²⁴+1)(2¹²+1)(2⁶+1)×9×7

=(2²⁴+1)(2¹²+1)×65×63

因为,整除的两个数在60和70之间,

且60<63<70，60<65<70,

所以，这两个数分别是63、65。

4、乒乓球比赛中的应用

有10位乒乓球选手进行乒乓球单循环比赛（每两人之间均要赛一场）。

如果用x₁，y₁顺次表示第一号选手胜与负的场数，用x₂，y₂顺次表示第二号选手胜与负的场数，用x₁₀，y₁₀顺次表示第十号选手胜与负的场数，则这10位选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和是相等的。

即x₁²+x₂²+……+x₁₀²=y₁²+y₂^²+……+y₁₀²。你能用所学的知识解释里面的道理吗？

分析：因为，是进行的单循环比赛，所以，每一位选手的胜的场数与负的场数之和是相同的，都是9场，从比赛的整体来看，所有队员胜的场数与负的场数也一定是相等的,这两个隐含的条件是问题解决的关键所在。

解：因为，是进行的单循环比赛，

所以，x₁+y₁= 9，

同理，x₂+ y₂=9，

……

x₁₀+y₁₀=9，

所以，x₁+x₂+……+x₁₀=y₁+y₂+……+y₁₀，

所以，(x₁+x₂+……+x₁₀)-(y₁+y₂+……+y₁₀)=0，

所以，(x₁+x₂+……+x₁₀)-(y₁+y₂+……+y₁₀)

=(x₁²-y₁²)+(x₂²-y₂²)+……+(x₁₀²-y₁₀²)

=(x₁+y₁)(x₁-y₁)+(x₂+y₂)(x₂-y₂)+……+(x₁₀+y₁₀)(x₁₀-y₁₀)

=9(x₁-y₁)+9(x₂-y₂)+……+9(x₁₀-y₁₀)

=9【(x₁+x₂+……+x₁₀)-(y₁+y₂+……+y₁₀)】

=0

所以，x₁+x₂+……+x₁₀=y₁+y₂+……+y₁₀

利用完全平方公式进行分解因式

应用完全平方，把多项式进行分解因式的方法，就叫做完全平方公式法。

公式表述为：a²+2ab+b^²= (a+b) ^²。

a²-2ab+b²= (a-b)²。

1、直接应用

（1）分解因式：x^²+4x+4=         。

分析：关键是把数字4写成2，

这样，左边就变形为x^²+2×x×2+2²，

这样，就和公式一致了。

解：x²+4x+4=x²+2×x×2+2²= (x+2)²。

（2）下列式子中是完全平方式的是（    ）

A.a²+ab+b²

B.a²+2a+2

C.a²+2b+b^²

D.a²+2a+1

分析：完全平方公式的条件特点是：

a.多项式中有三项，且多项式的整体符合是:“+，+”或者“-，+”；

b.必须有平方幂底数的交叉项的积的2倍。

根据上面的两个特点，去分析，只有D是符合要求的。

解：选D。

2、提后用公式

分解因式ax³y+axy^³-2ax^²y^²=         。(2008年聊城市)

分析：在提后用公式时，要遵循四字要领：

提、调、变、套。

具体表述为;

提：提各项的公因式，要提彻底。

调：调整各项的顺序，使之与公式的顺序相同。

变：变化常数项，变化系数，变化指数，使之与公式形式一致。

套：根据题目的特点，套用不同公式，写出最后的答案。

在具体的解题过程中，同学们要仔细体会口诀的指导作用。

解：ax^³y+axy^³-2ax^²y^²

=axy(x^²+y^²-2xy) .….….提：提公因式；

= axy(x²-2xy+y^²) ….…调：调整各项的顺序；

=axy(x-y)²….…..套；

点评：四字口诀，在解题时，不一定都要同时用到。

3、变化指数后用公式

分解因式：a⁴-8a²b^²+16b

分析：由a⁴= (a²) ²；b⁴= (b²)²

把原多项式变形成符合公式的形式。

解：a⁴-8a^²b²+16b⁴

=(a^²)^²-8a²b^²+(4)^²(b^²)^²

= (a²)²-8a²b^²+(4b²)^²

= (a^²-4b^²)^²。

4、换元用

分解因式：(a+b)^²-6(a+b)+9

分析：平方幂的底数是一个多项式，为了方便，我们不妨采用换元的思想，把多项式底数转化成同学们熟悉的单项式底数。

解：设x=a+b，

所以，原多项式变形为：x^²-6x+9，

所以，x^²-6x+9= x^²-6x+3²=(x-3)^²，

所以，(a+b)^²-6(a+b)+9

= (a+b-3)^²。

5、综合用

若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式，a^²-2ab- c^²+b^²的值：        。

A、大于零

B、小于零

C、等于零

D、与零的大小无关

分析：由a^²-2ab-c^²+b^²= (a-b)^²-c^²= (a-b+c)(a-b-c)，

因为a、b、c是三角形的三条边长，

所以，两边之和一定是大于第三边的，

因此，a+c>b，b+c>a，

所以，a-b+c>0，a-b-c<0，

所以，(a-b+c) (a-b-c）<0，

因此，正确的答案是B。